113 Рух тіла, кинутого під кутом до горизонту

§ 113. Рух тіла, кинутого під кутом до горизонту

Якщо початкова швидкість кинутого тіла спрямована вгору під деяким кутом до горизонту, то в початковий момент тіло має складові початкової швидкості як в горизонтальному, так і у вертикальному напрямках (рис. 178).

Мал. 178. Траєкторія тіла, кинутого під угломк горизонту (за відсутності опору повітря)

Завдання відрізняється від розглянутої в попередньому параграфі тим, що початкова швидкість не дорівнює нулю і для руху по вертикалі. Для горизонтальної ж складовою все сказане залишається в силі.

Введемо координатні осі: вісь, направлену по вертикалі вгору, і горизонтальну вісь, розташовану в одній вертикальній площині з початковою швидкістю. Проекція початкової швидкості на осьравна, а на осьравна (при показаному на рис. 178 напрямок осейіобе проекції позитивні). Прискорення тіла равноі, отже, весь час направлено по вертикалі вниз. Тому проекція прискорення на осьравна -, а на ось- нулю.

Оскільки складова прискорення в напрямку осіотсутствует, проекція швидкості на осьостается постійною і рівною своєму початковому значенню. Отже, рух проекції тіла на осьбудет рівномірним. Рух проекції тіла на осьпроісходіт в обох напрямках - вгору і вниз - з однаковим прискоренням. Тому на проходження шляху вгору від довільної висотидо висоти підйому до витрачається такий же час, як і на проходження шляху вниз від висотидо. Звідси випливає, що симетричні щодо вершіниточкі (наприклад, точки) лежать на однаковій висоті. А це означає, що траєкторія симетрична щодо точки. Але характер траєкторії тіла після точкіми вже з`ясували в § 112. Це - парабола, яку описує тіло, що летить з горизонтальною початковою швидкістю. Отже, все те, що ми говорили щодо траєкторії тіла в попередньому параграфі, в рівній мірі відноситься і до розглянутого випадку, тільки замість «половини параболи» тіло описує «повну параболу», симетричну відносно точки.

Перевірити отриманий результат можна також за допомогою струменя води, яка витікає з похило поставленої трубки (рис, 179). Якщо позаду струменя помістити екран із заздалегідь накреслені параболами, то можна побачити, що струмені води також є параболи.

Мал. 179. Струмінь має форму параболи, тим більше витягнутої, чим більше початкова швидкість струменя

Висота підйому і відстань, яке пройде кинуте тіло в горизонтальному напрямку до повернення на ту висоту, з якої тіло почало свій рух, т. Е. Відстань рис. 178, залежать від модуля і напрямки початкової швидкості. Перш за все, при даному напрямку початкової швидкості і висота і горизонтальне відстань тим більше, чим більше модуль початкової швидкості (рис. 179).

Для однакових по модулю початкових швидкостей відстань, яке проходить тіло в горизонтальному напрямку до повернення на початкову висоту, залежить від напрямку початкової швидкості (рис. 180). При збільшенні кута між швидкістю і горизонтом яку спочатку збільшується, при вугіллі вдостігает найбільшого значення, а потім знову починає зменшуватися.

Проведемо розрахунок руху тіла, кинутого вгору під угломк горизонту з початковою швидкістю (рис. 178). Нагадаємо, що проекція швидкості тіла на осьпостоянна і дорівнює. Тому коордінататела в момент временіравна

. (113.1)

Мал. 180. При збільшенні нахилу струменя, що випливає з даною швидкістю, відстань, на яке вона б`є, спочатку збільшується, досягає найбільшого значення при нахилі в, а потім зменшується

Рух проекції тіла на осьбудет спочатку равнозамедленно. Після того як тіло досягне вершини траєкторії, проекція скоростістанет негативною, т. Е. Одного знака з проекцією прискорення, внаслідок чого почнеться рівноприскореному русі тіла вниз. Проекція швидкості на осьізменяется з часом за законом

. (113.2)

У вершині траекторііскорость тіла має тільки горизонтальну складову, аобращается в нуль. Щоб знайти момент часу, в який тіло досягне вершини траєкторії, підставимо в формулу (113.2) вместоі прирівняємо вийшло вираз нулю:

- звідси (113.3)

Обумовлене формулою (113.3) значеніедает час, за яке кинуте тіло досягає вершини траєкторії. Якщо точка кидання і точка падіння тіла лежать на одному рівні, то весь час полетабудет одно:

(113.4)

Умножівна час польоту, знайдемо коордінатуточкі падіння тіла, т. Е. Дальність польоту:

. (113.5)

З цієї формули видно, що дальність польоту буде максимальною в разі, коли, тобто при (що вже зазначалося вище).

Відповідно до формул (22.1) і (113.2) коордінатаізменяется з часом за законом

(113.6)

Підставивши в цю формулувместонайдем координату, що відповідає вершині траєкторії, т. Е. Висоту, підйому тіла:

.

Привівши подібні члени, отримаємо

. (113.7)

Висота зростає з увеліченіемі досягає найбільшого значення, рівного, прит. е. при киданні тіла вертикально вгору.

113.1. Камінь, кинутий з землі вгору під кутом до горизонту, падає назад на землю на відстані 14 м. Знайти горизонтальну і вертикальну складові початкової швидкості каменю, якщо весь політ тривав 2 с. Знайти найбільшу висоту підйому каменю над землею. Опором повітря знехтувати.

113.2. Пожежний направляє струмінь води на дах будинку висоти 15 м. Над дахом будинку струмінь піднімається на 5 м. На якій відстані від пожежного (вважаючи по горизонталі) струмінь впаде на дах, якщо вона виривається з шланга зі швидкістю 25 м / с? Опором повітря знехтувати.